Penjelasan Sederhana dan Mudah Dipahami tentang Lagrangian

Assalamu'alaikum.. gimana kabarnya sob. udah lama gak posting artikel nih. Ceritanya ane sekarang udah kuliah nihh. Di UNS alias Universitas Nomor Satu hehe.. Dan ane ambil jurusan Fisika, keren gak tuh? To the point aja ya,, ane mau share sedikit ilmu yang ane dapet dari bangku kuliah. Kalo kata kakek Einstein sih ente belum "expert" kalo ilmu "scientist" yang ente punya belum bisa dipahami sama nenek ente, kurang lebih si seperti itu. Jadi ane bakalan kasih tau sama kalian semua apa sih lagrangian itu?? Makanan jenis apa Lagrangian itu?? Check this out..


A. Gambaran Umum Lagrangian
     Ane ngutip kata-kata yang diucapin Lagrange (Joseph Louis de Lagrange) dalam pendapatnya mengenai mekanika analitik. Kurang lebih kaya gini : "...untuk mereduksi teori mekanika, dan seninya dalam penyelesaian permasalahan yang berkaitan dengan hal tersebut, untuk men-genaral-kan perumusan, yang lebih sederhana dalam pengembangannya  menyajikan semua persamaan yang diperlukan untuk solusi dalam masing-masing permasalahan…untuk menyatukan dan menyajikan dari satu sudut pandang baru, prinsip yang berbeda, yang sejauh ini telah ditemukan untuk membantu dalam penyelesaian permasalahan mekanika, dengan menunjukkan saling kebergantungannya dan membuat keputusan dari validitas dan cakupannya yang mungkin…tidak ada diagram yang akan ditemukan dalam pengerjaan ini. Metode yang saya jelaskan ini tidak membutuhkan konstruksi maupun geometri atau argumen mekanik, tetapi hanya membutuhkan operasi aljabar yang melekat pada proses yang umum dan seragam. Siapa yang menyukai analisis akan menikmati dan melihat mekanika cabang baru darinya dan saya sangat bersyukur telah mengembangkan bidang ini." Ya kurang lebih septerti itu.
      Pak Lagrange ceritanya nih mengembangkan Hukum kedua Newton. Dimana Hukum Newton ini hanya dapat digunakan jika semua gaya-gaya yang bekerja pada sistem yang telah diketahui, dan otomatis kondisi dinamisnya juga diketahui. Selanjutnya kita menggunakan koordinat kartesian, dankadang-kadang menggunakan koordinat polar, silinder atau bola. Misalnya tasbih yang meluncur pada tali. Dalam hal ini tidak hanya bentuk gaya yang tidak diketahui yang memaksa membentuk gerakan tersebut yang membuat permasalahan menjadi sulit diselesaikan dengan analisis Newton biasa. Bahkan dengan pendekatan koordinat kartesius atau sistem koordinat lainnya persoalan ini tidak mungkin untuk diselesaikan walaupun gayanya telah diketahui. Dari permasalahan ini, muncul persamaan Lagrange atau Lagrangian yang merupakan turunan dari Hukum kedua Newton, yang membetikan penyelesain yang lebih mudah dalam penanganan permasalahan-permasalahan fisika alam yang sangat rumit. Kenapa mudah? Karena teknik Lagrange ini hanya menggunakan koordinat umum, malahan hanya dibatasi hanya penggunaan koordinat kartesius atau polar saja. Dan juga kuantitas-kuantitas seperti kecepatan, momentum anguler, atau panjang yang akan digunakan dalam penyelesaian persoalan. Selanjutnya teknik ini menggunakan pendekatan energi, yang memiliki keuntungan lebih mudah apabila berurusan dengan skalar daripada vektor.
       Dalam perumusan Lagrange, koordinat umum yang digunakan adalah posisi dan kecepatan, dalam persamaan diferensial linier orde satu.

B. Persamaan Lagrangian

Analisis gerak dengan menggunakan Hukum Newton adalah:

∑F = m . a

Namun pada mekanika lanjut, analisis gerak yang digunakan menggunakan lagrangian. Secara umum Lagrangian adalah selisih antara energi kinetik dengan energi potensial atau secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut :

L = T – V

Dimana : T= Energi kinetik   ;   V= Energi potensial

Sehingga persamaan Euler-Lagrange tergantung dari jumlah variabel terkaitnya (tergantung x, y, z). Misal untuk gerak 3 dimensi (x,y,z) :

Contoh 1: Sebuah benda jatuh bebas dari ketinggian y dekat permukaan bumi. Tentukan persamaan geraknya!!

Jawab : Dengan menggunakan analisis Lagrangian maka:

          Sehingga, 

Persamaan Euler-Lagrange nya adalah:

Contoh 2 :

Untuk θ<<<

C. Contoh Konkrit Penggunaan Lagrangian

           

1.   Pesawat Adwood

Misalkan sebuah pesawat Atwood yang terdiri dari dua benda m₁ dan m₂ dihubungkan oleh tali yang panjangnya l m dan dilewatkan pada katrol . Sistem ini memiliki satu derajat kebebasan. Kita ambil variabel x untuk menyatakan konfigurasi sistem, dimana x adalah jarak vertikal dari katrol ke massa m₁ seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut :

 

Kecepatan sudut katrol adalah , dimana a adalah jari-jari katrol. Energi kinetik sistem ini adalah :

dimana I adalah momen inersia katrol. Energi potensial sistem adalah :

Anggap bahwa pada sistem tidak bekerja gaya gesekan, sehingga fungsi Lagrangiannya adalah

dan persamaan Lagrangianya adalah

yang berarti bahwa,

atau,

adalah percepatan sistem. Nampak bahwa jika m₁>m₂, maka m₁ akan bergerak turun, sebaliknya jika m₁<m₂ maka m₁ akan bergerak naik dengan percepatan tertentu.

2.   Partikel yang bergerak pada bidang miring yang dapat digerakkan.

Mari kita tinjau sebuah persoalan dimana sebuah partikel meluncur pada sebuah bidang miring yang juga dapat bergerak pada permukaan datar yang licin, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.6. Dalam persoalan ini terdapat dua derajat kebebasan, sehingga kita butuhkan dua koordinat untuk menggambarkan keadaan sistem yang kita tinjau. Kita akan memilih koordinat x dan x' yang masing-masing menyatakan pergeseran dalam arah horisontal bidang terhadap titik acuan dan pergeseran partikel dari titik acuan terhadap bidang seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Dari analisis diagram vektor kecepatan, nampak bahwa kuadrat kecepatan partikel diperoleh dengan menggunakan hukum kosinus :

Oleh karena itu energi kinetiknya adalah

dimana M adalah massa bidang miring dengan sudut kemiringan q, seperti yang ditunjukkan dalam gambar 2.6. dan m adalah massa partikel. Energi potensial sistem tak terkait dengan x oleh karena bidangnya horisontal, sehingga kita dapat tuliskan :

V=mgx'sin q + tetapan

dan

Persamaan geraknya

               

Sehingga

  

Percepatandanadalah :

              

                                            

Sumber bacaan:

http://kurniafisika.wordpress.com/2010/04/18/gambaran-umum-mengenai-langrangian-dan-hamiltonian/#more-1190

Rafsenjani,Hafsemi.2013.Metode Lagrange dan Mekanika Hamilton.Surabaya:UNESA